数学建模-线性

求解线性规划问题

• 使用scipy.optimize.linprog()函数（求最小值的）

linprog: (c, A_ub, b_ub, A_eq, b_eq, bounds, method='interior-point', callback, options, x0)

• A_ub（可选参数）：不等式约束矩阵, 二维
• b_ub（可选参数）：不等式约束向量, 一维
• A_eq（可选参数）：等式约束矩阵，二维
• b_eq（可选参数）：等式约束向量，一维
• bounds（可选参数）：定义决策变量x的最小值和最大值
  • 数据类型： (min, max)序列对
  • None：使用None表示没有界限，默认情况下，界限为（0，None）（所有决策变量均为非负数）
  • 如果提供一个元组(min, max)，则最小值和最大值将用作所有决策变量的界限。

• 例一
  $$
  max z = 2x_1 + 3x_2 - 5x_3\newline
  $$

$$
s.t.
\begin{cases}
x_1+ x_2 + x_3 = 7\newline
2x_1 - 5x_2 + x_3 \geq 10\newline
x_1 + 3x_2 + x_3 \leq 12\newline
x_1, x_2, x_3 \geq 0
\end{cases}
$$

1. max 化为 min

$$
minz = -2x_1 - 3x_2 + 5x_3
$$

得到 c = [-2, -3, 5]

2. 把大于等于化为小于等于得到: $-2x_1 + 5x_2 - x_3 \leq -10$

$$
\begin{cases}
-2x_1 + 5x_2 - x_3 \leq -10\newline
x_1 + 3x_2 + x_3 \leq 12
\end{cases}
$$

得到 A_ub = [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]], b_ub = [-10, 12]

3. 找到等于号的式子

$$
x_1 + x_2 + x_3 = 7
$$

则 a_eq = [[1, 1, ,1]]（二维）, b_eq = [7]

from scipy import optimize
import numpy as np

c = np.array([-2, -3, 5])
a_ub = np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]])
b_ub = np.array([-10, 12])

# 注意这里是二维的，一维是列，二维是行
a_eq = np.array([[1, 1, 1]])
b_eq = np.array([7])

res = optimize.linprog(c, a_ub, b_ub, a_eq, b_eq)
# res.fun最优值， res.x 最优解
print(res.fun, res.x)

• 例二

$$
max z = 3x_1 + 2x_2\
$$

$$
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 \leq 14\newline
2x_1 + x_2 \leq 9\newline
x_1 \leq 3, x_2 \leq 2\newline
x_1, x_2 \geq 0
\end{cases}
$$

c = np.array([-3, -2])
a_ub = np.array([[2, 3], [2, 1]])
b_ub = np.array([14, 9])
x_1 = (0, 3)
x_2 = (0, 2)
print(optimize.linprog(c, a_ub, b_ub, bounds=(x_1, x_2)))

建模例子